Tables et cycles

Tables de multiplication et division (B9)

B9 (mod 9) désigne la racine digitale : on réduit tout nombre à un chiffre de 1 à 9 en additionnant les chiffres jusqu'à obtenir un seul chiffre (ex. 14 → 1+4 = 5). En décimal, les résultats grandissent (2, 4, 6, 8…) et les motifs se perdent ; en B9, les valeurs restent entre 1 et 9 et les cycles apparaissent clairement — la même séquence se répète tous les 9 termes.

Binaire / Ternaire

Séquences binaires (×2 à chaque ligne) et ternaire (+3 à chaque ligne). En décimal les nombres explosent ; en B9 (racine digitale mod 9) ils se ramènent à 1–9 et les cycles deviennent évidents.

Binaire

5 colonnes commençant par 1, 3, 5, 7, 9 — chaque valeur double à chaque ligne. B9 = racine digitale.

1	3	5	7	9
1	3	5	7	9
2	6	10	14	18
4	12	20	28	36
8	24	40	56	72
16	48	80	112	144
32	96	160	224	288
64	192	320	448	576
128	384	640	896	1152
256	768	1280	1792	2304
512	1536	2560	3584	4608
1024	3072	5120	7168	9216
2048	6144	10240	14336	18432
4096	12288	20480	28672	36864
8192	24576	40960	57344	73728
16384	49152	81920	114688	147456
32768	98304	163840	229376	294912
65536	196608	327680	458752	589824
131072	393216	655360	917504	1179648

Ternaire

3 colonnes commençant par 1, 2, 3 — on ajoute 3 à chaque ligne. B9 = racine digitale.

1	2	3
1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15
16	17	18
19	20	21
22	23	24
25	26	27
28	29	30
31	32	33
34	35	36
37	38	39
40	41	42
43	44	45
46	47	48
49	50	51
52	53	54
55	56	57
58	59	60
61	62	63
64	65	66
67	68	69
70	71	72
73	74	75
76	77	78
79	80	81
82	83	84
85	86	87
88	89	90
91	92	93
94	95	96
97	98	99
100	101	102
103	104	105
106	107	108

Table de multiplication

Table complète : n = 1 à 36, tous les cycles ×1 à ×9. À gauche, le produit décimal (il croît sans laisser voir de boucle) ; à droite en B9, la racine digitale mod 9 : les valeurs 1 à 9 se répètent et chaque colonne révèle un cycle distinct.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180
21	21	42	63	84	105	126	147	168	189
22	22	44	66	88	110	132	154	176	198
23	23	46	69	92	115	138	161	184	207
24	24	48	72	96	120	144	168	192	216
25	25	50	75	100	125	150	175	200	225
26	26	52	78	104	130	156	182	208	234
27	27	54	81	108	135	162	189	216	243
28	28	56	84	112	140	168	196	224	252
29	29	58	87	116	145	174	203	232	261
30	30	60	90	120	150	180	210	240	270
31	31	62	93	124	155	186	217	248	279
32	32	64	96	128	160	192	224	256	288
33	33	66	99	132	165	198	231	264	297
34	34	68	102	136	170	204	238	272	306
35	35	70	105	140	175	210	245	280	315
36	36	72	108	144	180	216	252	288	324

La matrice

En B9, chaque colonne (×1 à ×9) affiche un cycle qui se répète sur 9 lignes. En décimal on ne verrait qu'une progression ; ici les cycles sont visibles.

	×1	×2	×3	×4	×5	×6	×7	×8	×9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Table de division

Résultat décimal (1/n, 2/n…) à gauche ; à droite en B9 (mod 9), la racine digitale de l'inverse. En décimal les fractions n'ont pas de cycle lisible ; en B9 chaque diviseur (1, 2, 4, 5, 7, 8) a un cycle qui se répète. Remplissez les colonnes B9 puis consultez la matrice.

n	1/1	1/2	1/4	1/5	1/7	1/8
1	1	0.5	0.25	0.2	0.14	0.12
2	2	1	0.5	0.4	0.29	0.25
3	3	1.5	0.75	0.6	0.43	0.38
4	4	2	1	0.8	0.57	0.5
5	5	2.5	1.25	1	0.71	0.62
6	6	3	1.5	1.2	0.86	0.75
7	7	3.5	1.75	1.4	1	0.88
8	8	4	2	1.6	1.14	1
9	9	4.5	2.25	1.8	1.29	1.12
10	10	5	2.5	2	1.43	1.25
11	11	5.5	2.75	2.2	1.57	1.38
12	12	6	3	2.4	1.71	1.5
13	13	6.5	3.25	2.6	1.86	1.62
14	14	7	3.5	2.8	2	1.75
15	15	7.5	3.75	3	2.14	1.88
16	16	8	4	3.2	2.29	2
17	17	8.5	4.25	3.4	2.43	2.12
18	18	9	4.5	3.6	2.57	2.25
19	19	9.5	4.75	3.8	2.71	2.38
20	20	10	5	4	2.86	2.5
21	21	10.5	5.25	4.2	3	2.62
22	22	11	5.5	4.4	3.14	2.75
23	23	11.5	5.75	4.6	3.29	2.88
24	24	12	6	4.8	3.43	3
25	25	12.5	6.25	5	3.57	3.12
26	26	13	6.5	5.2	3.71	3.25
27	27	13.5	6.75	5.4	3.86	3.38
28	28	14	7	5.6	4	3.5
29	29	14.5	7.25	5.8	4.14	3.62
30	30	15	7.5	6	4.29	3.75
31	31	15.5	7.75	6.2	4.43	3.88
32	32	16	8	6.4	4.57	4
33	33	16.5	8.25	6.6	4.71	4.12
34	34	17	8.5	6.8	4.86	4.25
35	35	17.5	8.75	7	5	4.38
36	36	18	9	7.2	5.14	4.5

Matrice division (mod 9)

Même idée qu'en multiplication : en B9 les cycles de chaque diviseur (1, 2, 4, 5, 7, 8) apparaissent. Les colonnes 3, 6 et 9 sont traitées en mod 8 plus bas.

	1	2	4	5	7	8
1	1	5	7	2	4	8
2	2	1	5	4	8	7
3	3	6	3	6	3	6
4	4	2	1	8	7	5
5	5	7	8	1	2	4
6	6	3	6	3	6	3
7	7	8	4	5	1	2
8	8	4	2	7	5	1
9	9	9	9	9	9	9

Division par 3, 6 et 9 (mod 8)

Lorsque l'on divise par 3, 6 ou 9, on quitte l'arithmétique mod 9 et l'on entre dans le mod 8 : une réalité autre, de l'autre côté de la singularité. Le 9 (et ses diviseurs 3, 6) marquent le passage vers ce cycle à 8 termes.

n	n/3	n	n/6	n	n/9
1	0.33	1	0.17	1	0.11
2	0.67	2	0.33	2	0.22
3	1	3	0.50	3	0.33
4	1.33	4	0.67	4	0.44
5	1.67	5	0.83	5	0.56
6	2	6	1	6	0.67
7	2.33	7	1.17	7	0.78
8	2.67	8	1.33	8	0.89
9	3	9	1.50	9	1
10	3.33	10	1.67	10	1.11
11	3.67	11	1.83	11	1.22
12	4	12	2	12	1.33
13	4.33	13	2.17	13	1.44
14	4.67	14	2.33	14	1.56
15	5	15	2.50	15	1.67
16	5.33	16	2.67	16	1.78
17	5.67	17	2.83	17	1.89
18	6	18	3	18	2
19	6.33	19	3.17	19	2.11
20	6.67	20	3.33	20	2.22
21	7	21	3.50	21	2.33
22	7.33	22	3.67	22	2.44
23	7.67	23	3.83	23	2.56
24	8	24	4	24	2.67
25	8.33	25	4.17	25	2.78
26	8.67	26	4.33	26	2.89
27	9	27	4.50	27	3
28	9.33	28	4.67	28	3.11
29	9.67	29	4.83	29	3.22
30	10	30	5	30	3.33
31	10.33	31	5.17	31	3.44
32	10.67	32	5.33	32	3.56

Matrice division mod 8 (3, 6, 9)

Valeurs mod 8 : 1/3 et 1/9 en cycle de 8 ; 1/6 en cycle de 16 (n = 1 à 32).

	3	6	9
1	3	2	1
2	6	3	2
3	1	5	3
4	4	6	4
5	7	8	5
6	2	1	6
7	5	3	7
8	8	4	8
9	3	6	1
10	6	7	2
11	1	1	3
12	4	2	4
13	7	4	5
14	2	5	6
15	5	7	7
16	8	8	8
17	3	2	1
18	6	3	2
19	1	5	3
20	4	6	4
21	7	8	5
22	2	1	6
23	5	3	7
24	8	4	8
25	3	6	1
26	6	7	2
27	1	1	3
28	4	2	4
29	7	4	5
30	2	5	6
31	5	7	7
32	8	8	8

1	2	3
1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15
16	17	18
19	20	21
22	23	24
25	26	27
28	29	30
31	32	33
34	35	36
37	38	39
40	41	42
43	44	45
46	47	48
49	50	51
52	53	54
55	56	57
58	59	60
61	62	63
64	65	66
67	68	69
70	71	72
73	74	75
76	77	78
79	80	81
82	83	84
85	86	87
88	89	90
91	92	93
94	95	96
97	98	99
100	101	102
103	104	105
106	107	108

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180
21	21	42	63	84	105	126	147	168	189
22	22	44	66	88	110	132	154	176	198
23	23	46	69	92	115	138	161	184	207
24	24	48	72	96	120	144	168	192	216
25	25	50	75	100	125	150	175	200	225
26	26	52	78	104	130	156	182	208	234
27	27	54	81	108	135	162	189	216	243
28	28	56	84	112	140	168	196	224	252
29	29	58	87	116	145	174	203	232	261
30	30	60	90	120	150	180	210	240	270
31	31	62	93	124	155	186	217	248	279
32	32	64	96	128	160	192	224	256	288
33	33	66	99	132	165	198	231	264	297
34	34	68	102	136	170	204	238	272	306
35	35	70	105	140	175	210	245	280	315
36	36	72	108	144	180	216	252	288	324

	×1	×2	×3	×4	×5	×6	×7	×8	×9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

	1	2	4	5	7	8
1	1	5	7	2	4	8
2	2	1	5	4	8	7
3	3	6	3	6	3	6
4	4	2	1	8	7	5
5	5	7	8	1	2	4
6	6	3	6	3	6	3
7	7	8	4	5	1	2
8	8	4	2	7	5	1
9	9	9	9	9	9	9

	3	6	9
1	3	2	1
2	6	3	2
3	1	5	3
4	4	6	4
5	7	8	5
6	2	1	6
7	5	3	7
8	8	4	8
9	3	6	1
10	6	7	2
11	1	1	3
12	4	2	4
13	7	4	5
14	2	5	6
15	5	7	7
16	8	8	8
17	3	2	1
18	6	3	2
19	1	5	3
20	4	6	4
21	7	8	5
22	2	1	6
23	5	3	7
24	8	4	8
25	3	6	1
26	6	7	2
27	1	1	3
28	4	2	4
29	7	4	5
30	2	5	6
31	5	7	7
32	8	8	8

1	2	3
1	2	3
4	5	6
7	8	9
10	11	12
13	14	15
16	17	18
19	20	21
22	23	24
25	26	27
28	29	30
31	32	33
34	35	36
37	38	39
40	41	42
43	44	45
46	47	48
49	50	51
52	53	54
55	56	57
58	59	60
61	62	63
64	65	66
67	68	69
70	71	72
73	74	75
76	77	78
79	80	81
82	83	84
85	86	87
88	89	90
91	92	93
94	95	96
97	98	99
100	101	102
103	104	105
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